Возведение в степень — это многократное умножение числа на само себя. Калькулятор позволяет возвести любое число в целую, дробную или отрицательную степень, а второй блок решает обратную задачу: извлекает корень n-й степени. Оба расчёта опираются на одну и ту же функцию степени.
Степень с натуральным показателем — это произведение нескольких одинаковых множителей. Запись aⁿ означает, что число a умножается само на себя n раз: например, 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Основание a показывает, какое число повторяется, а показатель n — сколько раз.
Правила распространяются и на другие показатели. Нулевая степень любого ненулевого числа равна единице. Отрицательный показатель превращает степень в дробь: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Дробный показатель соответствует корню: a в степени 1/n — это корень n-й степени из a.
Корень удобно выражать через степень с дробным показателем. Квадратный корень — это степень 1/2, кубический — 1/3, корень четвёртой степени — 1/4. Поэтому отдельная функция корня не нужна: достаточно возвести число в дробную степень.
Такое представление объясняет, почему из отрицательных чисел нельзя извлечь корень с чётным показателем в действительных числах: результат уходит в комплексную область.
Пример 1. 2¹⁰ = 1024 — двойка перемножается десять раз.
Пример 2. 1,1¹⁰ = 2,593742 — так работает сложный процент: вклад растёт не линейно, а по степенному закону.
Пример 3. Корень четвёртой степени из 16 равен 16¹⁄⁴ = 2, а кубический корень из 27 — это 27¹⁄³ = 3.
Пример 4. 2⁻³ = 1 / 2³ = 0,125: отрицательный показатель даёт обратную величину.
Частые степени и корни
| Выражение | Расчёт | Значение |
|---|---|---|
| 2⁵ | 2 × 2 × 2 × 2 × 2 | 32 |
| 3⁴ | 3 × 3 × 3 × 3 | 81 |
| 5⁴ | 5 × 5 × 5 × 5 | 625 |
| √144 | 144¹⁄² | 12 |
| ³√125 | 125¹⁄³ | 5 |
Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице. Это следствие правила деления степеней с одинаковым основанием. Выражение 0⁰ считается неопределённым.
Нужно возвести число в степень с тем же модулем показателя и взять обратную величину: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Например, 2⁻³ = 1/8 = 0,125.
По свойству степеней (a⁵)ⁿ = a⁵·ⁿ. Если показатель равен 1/n, то возведение результата в степень n возвращает исходное число — это и есть определение корня.
Корень с нечётным показателем существует: например, кубический корень из минус восьми равен минус двум. Корень с чётным показателем действительного значения не имеет.
Сравнивайте порядки величин: каждые десять степеней двойки дают примерно три десятичных порядка. Для точного значения используйте калькулятор.