Калькулятор считает значение двойки в заданной степени и сумму всех степеней от нулевой до заданной. Таблица степеней двойки помогает быстро вспомнить, сколько байт вмещает килобайт, сколько цветов кодирует бит и как связаны степени двойки с двоичной системой.
Степень двойки — это результат многократного умножения числа два на само себя. Показатель степени говорит, сколько множителей участвует в произведении. Запись 2ⁿ читается как «два в степени n» и равна произведению n двоек.
Двойка занимает особое место в информатике, потому что вычислительная техника работает с двумя состояниями: включено и выключено, есть сигнал или нет. Один бит хранит два значения, два бита — четыре, три бита — восемь. Поэтому объём памяти, палитра цветов и разрядность чисел удобно описывать именно степенями двойки.
Введите целый неотрицательный показатель степени — калькулятор мгновенно вернёт значение двойки в этой степени. Нулевая степень даёт единицу, потому что любое число в нулевой степени равно единице. Второй блок считает сумму всех степеней от 2⁰ до 2ⁿ, что соответствует записи из n+1 единиц в двоичной системе.
Например, сумма 1 + 2 + 4 + 8 равна 15 — это 1111 в двоичном виде. Такая закономерность полезна при работе с масками, адресами и количеством комбинаций битов.
Сумма последовательных степеней двойки считается по формуле геометрической прогрессии: она равна следующей степени минус единица. Это позволяет не складывать каждое значение вручную.
Пример 1. Два в пятой степени: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Столько значений можно закодировать пятью битами.
Пример 2. Два в десятой степени равно 1024. Это привычный программистам размер: 1024 байта в килобайте, 1024 килобайта в мегабайте.
Пример 3. Сумма степеней от 2⁰ до 2³ равна 1 + 2 + 4 + 8 = 15, что совпадает с формулой 2⁴ − 1 = 16 − 1 = 15.
Таблица степеней двойки
| Степень | Запись | Значение |
|---|---|---|
| 0 | 2⁰ | 1 |
| 1 | 2¹ | 2 |
| 4 | 2⁴ | 16 |
| 8 | 2⁸ | 256 |
| 10 | 2¹⁰ | 1024 |
| 16 | 2¹⁶ | 65536 |
Единице. Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице по определению, и двойка здесь не исключение.
Потому что каждый бит удваивает число возможных комбинаций. N битов кодируют ровно 2 в степени N различных значений, поэтому степени двойки напрямую описывают разрядность и объём памяти.
Сумма степеней от нулевой до n равна числу, которое в двоичной системе записывается как n + 1 единица. Например, сумма до 2³ равна 15, то есть 1111.
Отрицательная степень означает дробь: два в минус третьей степени равно одной восьмой, то есть 0,125. В этом калькуляторе удобнее использовать неотрицательные целые показатели.