Среднее отклонение показывает, насколько числа набора разбросаны вокруг своего среднего. Этот калькулятор считает среднее значение, среднее абсолютное отклонение, дисперсию и стандартное отклонение для пяти чисел. Так удобно оценить однородность измерений или любых числовых данных.
Среднее отклонение — мера разброса чисел вокруг их среднего значения. Если все значения близки к среднему, отклонение небольшое; если они сильно различаются, отклонение растёт. В статистике используют две основные меры: стандартное отклонение, где отклонения возводят в квадрат, и среднее абсолютное отклонение, где берут модуль разности.
Среднее абсолютное отклонение интуитивно понятно: это среднее расстояние каждой точки от центра набора. Стандартное отклонение чувствительнее к выбросам, потому что крупные отклонения дают большой вклад в квадрат.
Сначала находят среднее арифметическое: сумму всех чисел делят на их количество. Затем для каждого числа считают отклонение от среднего. Среднее абсолютное отклонение — это сумма модулей отклонений, делённая на число значений. Дисперсия — сумма квадратов отклонений, делённая на n − 1 при работе с выборкой. Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии.
Деление на n − 1, а не на n, даёт несмещённую оценку для выборки. Именно поэтому для небольших наборов данных стандартное отклонение немного больше «среднего» разброса.
Пример 1. Набор 5, 7, 8, 10, 12. Среднее: 42 / 5 = 8,4. Модули отклонений: 3,4; 1,4; 0,4; 1,6; 3,6 — их сумма 10,4, значит MAD = 2,08. Квадраты отклонений дают 29,2, дисперсия равна 7,3, стандартное отклонение — 2,7.
Пример 2. Ровный набор 2, 4, 6, 8, 10: среднее 6, MAD равен 2,4, дисперсия 10, а стандартное отклонение примерно 3,16.
Пример 3. Если добавить в набор выброс, например заменить 12 на 40, среднее и стандартное отклонение заметно вырастут, а среднее абсолютное отклонение изменится слабее.
Сравнение наборов чисел
| Набор | Среднее | MAD | Дисперсия | SD |
|---|---|---|---|---|
| 5, 7, 8, 10, 12 | 8,4 | 2,08 | 7,3 | 2,70 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 6,0 | 2,40 | 10,0 | 3,16 |
| 10, 10, 10, 10, 10 | 10,0 | 0,00 | 0,0 | 0,00 |
Стандартное отклонение возводит отклонения в квадрат, поэтому сильнее реагирует на крупные выбросы. Среднее абсолютное отклонение использует модуль и даёт более устойчивую оценку.
Для выборки деление на n − 1 даёт несмещённую оценку генеральной дисперсии. Если данные — вся генеральная совокупность, делят на n.
Все числа набора одинаковы. В этом случае и среднее абсолютное отклонение, и дисперсия равны нулю, а разброса нет.
Формулы универсальны, но этот калькулятор рассчитан ровно на пять значений. Для большего набора чисел удобнее табличный редактор или статистическая программа.