Наименьшее общее кратное (НОК) — самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое число набора. Калькулятор считает НОК двух и трёх чисел через наибольший общий делитель и показывает также сам НОД для проверки.
Кратное числа — это результат умножения его на натуральное число: например, кратные 6 — это 6, 12, 18, 24 и далее. Общее кратное встречается в списках кратных сразу нескольких чисел. Наименьшее из таких чисел и называют НОК.
НОК нужен, чтобы привести дроби к общему знаменателю, синхронизировать расписания и решать задачи на повторяющиеся события. Значение НОК всегда не меньше самого большого числа набора и всегда делится на каждое из них.
Самый быстрый способ: перемножить два числа и разделить на их наибольший общий делитель. НОД находят алгоритмом Евклида — заменой большего числа остатком от деления на меньшее, пока остаток не станет нулём.
Пример 1. НОК(15, 25): НОД(15, 25) = 5, тогда 15 × 25 ÷ 5 = 75. Ответ: 75.
Пример 2. НОК(12, 18): НОД = 6, тогда 12 × 18 ÷ 6 = 36. Ответ: 36.
Для набора чисел НОК считают поэтапно: находят НОК первых двух чисел, а затем берут НОК результата и третьего числа. Так же поступают и с остальными числами.
Пример 3. НОК(4, 6, 10): НОК(4, 6) = 12, затем НОК(12, 10) = 60. Ответ: 60.
НОК для частых наборов чисел
| Числа | НОД | НОК |
|---|---|---|
| 12 и 18 | 6 | 36 |
| 15 и 25 | 5 | 75 |
| 48 и 180 | 12 | 720 |
| 4, 6 и 10 | 2 | 60 |
Произведение a × b содержит общие множители дважды. Чтобы получить наименьшее кратное, лишние общие множители убирают, деля произведение на НОД.
Да, для небольших чисел это удобно: выписывают кратные одного числа и находят первое, которое делится и на второе. Для больших чисел способ медленный.
НОД взаимно простых чисел равен 1, поэтому их НОК равен обычному произведению. Например, НОК(8, 9) = 72.
НОК знаменателей даёт наименьший общий знаменатель. Приведя к нему дроби, их можно складывать и вычитать без громоздких преобразований.