Калькулятор факториалов находит произведение всех натуральных чисел от единицы до N. Рядом он считает сумму натуральных чисел и сумму чётных чисел до N — эти величины часто нужны в комбинаторике и школьных задачах.
Факториал числа N обозначается N! и равен произведению всех натуральных чисел от единицы до N включительно. Например, 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24. По определению 0! = 1 и 1! = 1 — это удобно, чтобы формулы комбинаторики работали без исключений.
Факториал быстро растёт: уже 10! равно 3 628 800, а 20! превышает два квинтиллиона. Поэтому на практике вместо прямого перемножения больших чисел применяют приближённые формулы или логарифмирование.
Сумму последовательности от 1 до N не обязательно считать по одному числу: это арифметическая прогрессия с разностью один. Её сумма равна произведению N на (N + 1), делённому на два. Формула мгновенно даёт результат даже для больших N.
Чётные числа до N образуют последовательность 2, 4, 6 и так далее. Если k — количество таких чисел, то есть целая часть от N/2, сумма равна k × (k + 1). Проверка: до 10 идёт пять чётных чисел — 2, 4, 6, 8, 10, а формула даёт 5 × 6 = 30.
Пример 1. 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
Пример 2. Сумма чисел до 10 равна 10 × 11 / 2 = 55.
Пример 3. Сумма чётных до 10: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30, что совпадает с формулой 5 × 6 = 30.
Факториалы малых чисел
| N | N! | Сумма до N |
|---|---|---|
| 3 | 6 | 6 |
| 5 | 120 | 15 |
| 6 | 720 | 21 |
| 10 | 3 628 800 | 55 |
0! = 1. Это соглашение делает формулы числа перестановок и сочетаний корректными при нуле элементов.
Обычный факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Для дробных применяют гамма-функцию, выходящую за рамки этого калькулятора.
Каждый следующий множитель больше предыдущего, поэтому произведение увеличивается стремительно. Уже 70! не помещается в обычную вычислительную точность.
В комбинаторике — для числа перестановок, размещений и сочетаний, а также в теории вероятностей и разложениях функций в ряды.