Калькулятор дисперсии показывает, насколько сильно числа набора отклоняются от среднего. Введите четыре значения — инструмент посчитает среднее, дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации как для выборки, так и для генеральной совокупности.
Дисперсия — это мера разброса числового набора вокруг среднего арифметического. Она равна среднему квадрату отклонений каждого значения от среднего. Чем больше дисперсия, тем дальше друг от друга стоят числа; чем она меньше, тем плотнее они сгруппированы около центра.
Квадрат отклонения берут не случайно: без возведения в квадрат положительные и отрицательные отклонения взаимно уничтожились бы и сумма всегда давала бы ноль. Квадрат делает все вклады неотрицательными, поэтому итог отражает именно величину разброса.
Корень из дисперсии называют стандартным отклонением (СКО). Оно измеряется в тех же единицах, что и исходные данные, поэтому его удобно сравнивать напрямую со средним. Отношение СКО к среднему в процентах — это коэффициент вариации, безразмерная оценка однородности набора.
Разница между двумя блоками калькулятора только в делителе. Если набор чисел — это лишь часть большой совокупности, используют выборочную дисперсию и делят сумму квадратов на (n − 1). Деление на меньшее число компенсирует то, что выборочное среднее само построено по этим же данным и немного занижает разброс.
Если в наборе собраны все возможные значения, которые нас интересуют, применяют генеральную дисперсию и делят на n. Для больших наборов разница между этими оценками мала, но при малом числе наблюдений она заметна и принципиальна.
Пример 1. Набор 2, 4, 4, 6. Сумма равна 16, среднее 4. Отклонения: −2, 0, 0, 2, их квадраты 4, 0, 0, 4 дают сумму 8. Выборочная дисперсия: 8 ÷ 3 = 2,67; СКО √2,67 = 1,63; коэффициент вариации 1,63 ÷ 4 × 100 = 40,82%.
Пример 2. Для того же набора генеральная дисперсия 8 ÷ 4 = 2,00, а СКО √2 = 1,41. Видно, что деление на n даёт меньший результат, чем деление на (n − 1).
Дисперсия набора 2, 4, 4, 6
| Показатель | Формула | Значение |
|---|---|---|
| Среднее | 16 ÷ 4 | 4,00 |
| Сумма квадратов | 4 + 0 + 0 + 4 | 8,00 |
| Дисперсия выборки | 8 ÷ 3 | 2,67 |
| Дисперсия совокупности | 8 ÷ 4 | 2,00 |
| СКО выборки | √2,67 | 1,63 |
| Коэффициент вариации | 1,63 ÷ 4 × 100 | 40,82% |
На n − 1 делят, если числа — выборка из более широкой совокупности. На n делят, когда набор содержит все значения, которые нужно описать.
Отклонения предварительно возводят в квадрат, поэтому размерность тоже становится квадратной. Извлекая корень, получают СКО в обычных единицах.
Он переводит разброс в проценты от среднего и позволяет сравнивать наборы с разными единицами и масштабом.