Калькулятор касательной по точке касания находит значение функции, её производную в этой точке и коэффициенты уравнения касательной. Расчёт идёт для функции f(x) = x³ − 3x² + 2x.
Касательная — это прямая, которая в выбранной точке наилучшим образом повторяет направление графика функции. Её уравнение строится по значению функции и её производной в точке касания x₀.
Множитель f′(x₀) задаёт угловой коэффициент k: он показывает, насколько быстро меняется функция в этой точке. Чтобы привести запись к привычному виду y = kx + b, достаточно раскрыть скобки и перенести часть через свободный член b = f(x₀) − k × x₀.
Для функции f(x) = x³ − 3x² + 2x производная равна f′(x) = 3x² − 6x + 2. Подставляем x₀, получаем наклон, затем свободный член — и уравнение касательной готово.
Пример 1. Точка x₀ = 2. Значение f(2) = 8 − 12 + 4 = 0, наклон f′(2) = 12 − 12 + 2 = 2. Касательная: y = 0 + 2(x − 2) = 2x − 4, свободный член b = −4.
Пример 2. Точка x₀ = 1. f(1) = 1 − 3 + 2 = 0, f′(1) = 3 − 6 + 2 = −1. Касательная: y = −x + 1.
Пример 3. Точка x₀ = 3. f(3) = 6, f′(3) = 11, тогда y = 6 + 11(x − 3) = 11x − 27.
Касательные в разных точках
| x₀ | f(x₀) | f′(x₀) | Уравнение касательной |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | −1 | y = −x + 1 |
| 2 | 0 | 2 | y = 2x − 4 |
| 3 | 6 | 11 | y = 11x − 27 |
Это мгновенная скорость изменения функции, равная угловому коэффициенту касательной. Геометрически она показывает, насколько круто поднимается или опускается график.
Подставьте x = x₀: значение y должно совпасть с f(x₀). Если совпадает, точка касания найдена верно.
Когда производная в точке равна нулю. Такие точки называют критическими, в них возможны максимум или минимум функции.
Только там, где функция дифференцируема. В точках разрыва или излома производной не существует, и касательная не определена.