Калькулятор степеней возводит число в любую степень: целую, дробную или отрицательную. Второй блок иллюстрирует основные правила действий со степенями с одним основанием — умножение, деление и возведение степени в степень.
Степень — это краткая запись многократного умножения одного и того же числа. Запись aⁿ означает, что основание a умножается само на себя n раз. Например, 2⁵ = 2 × 2 × 2 = 8. Показатель может быть целым, дробным и отрицательным, и каждый случай имеет свои правила.
Степени широко применяются в математике, физике и финансах: от записи больших величин до расчёта сложных процентов и роста по геометрической прогрессии.
Отрицательный показатель переворачивает дробь: a⁻ᵏ = 1 / aᵏ. Дробный показатель соответствует корню: a в степени 1/2 — это квадратный корень, а 1/3 — кубический. Нулевая степень любого ненулевого числа равна единице, а ноль в положительной степени остаётся нулём.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, при делении — вычитают, а при возведении степени в степень — перемножают. Эти правила позволяют упрощать выражения до вычислений и проверять результаты, полученные первым блоком калькулятора.
Пример 1. 2¹⁰ = 1024. Тот же результат дают действия: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 × 8.
Пример 2. 2⁻² = 1 / 4 = 0,25 — отрицательный показатель даёт обратную величину.
Пример 3. Для a = 2, m = 3, n = 4: произведение равно 2⁷ = 128, частное — 2⁻¹ = 0,5, а степень степени (2³)⁴ = 2¹² = 4096.
Степени числа 2
| Показатель | Значение | Запись |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 3 | 8 | 2 в кубе |
| 10 | 1024 | 2 в десятой |
| -2 | 0,25 | 1 / 4 |
Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице. Это следует из правила деления степеней: одинаковые основание и показатель дают a⁰ = 1.
Дробный показатель заменяется корнем: a в степени 1/n — это корень n-й степени из a. Например, 9 в степени 1/2 равно 3.
Знак результата зависит от чётности показателя. Отрицательное основание в чётной степени даёт положительное число, а в нечётной — отрицательное.
Значение растёт стремительно и может выйти за пределы точности обычных вычислений. Для таких величин используют экспоненциальную запись или логарифмы.