Калькулятор помогает работать с позиционными системами счисления: сначала переводит число в десятичное значение по весам разрядов, а затем складывает два таких значения. Расчёт опирается на одно правило — цифра умножается на основание в степени её позиции.
Система счисления задаёт, сколько разных цифр используется для записи числа и какой вес имеет каждая позиция. В десятичной системе основание равно 10: одна и та же цифра в разных разрядах означает единицы, десятки или сотни. В двоичной системе основание равно 2 и допустимы только цифры 0 и 1, а в восьмеричной — цифры от 0 до 7.
Значение числа равно сумме произведений цифр на основание в степени позиции. Позиции считают справа налево с нуля. Так запись 1011 в двоичной системе означает 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 = 11.
Сложение в любой позиционной системе идёт как в десятичной, но перенос в старший разряд возникает при достижении основания, а не десяти: запишите числа по разрядам, складывайте справа налево и при сумме, большей или равной основанию, вычтите основание и перенесите единицу влево.
В двоичной системе перенос появляется уже при 1 + 1: получается 10, то есть ноль в текущем разряде и единица в старшем. В восьмеричной он начинается при восьми.
Обозначения: N — десятичное значение числа, d — цифра разряда, base — основание системы, i — номер позиции цифры, считая от нуля справа.
Пример 1. Число 1011 в двоичной системе: 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 = 11. Число 1101 там же: 8 + 4 + 0 + 1 = 13. Их сумма равна 24 в десятичной системе, что соответствует двоичному 11000.
Пример 2. Число 777 в восьмеричной системе: 7×64 + 7×8 + 7×1 = 448 + 56 + 7 = 511. Прибавив единицу, получаем 512 — это 1000 в восьмеричной записи.
Пример 3. Число 255 в десятичной системе равно 255; это значение удобно для проверки перевода.
Значения чисел в разных системах счисления
| Запись | Основание | Десятичное значение |
|---|---|---|
| 1011 | 2 | 11 |
| 1101 | 2 | 13 |
| 777 | 8 | 511 |
| 255 | 10 | 255 |
Инструмент рассчитан на системы с основанием от 2 до 10: двоичную, троичную, восьмеричную, десятичную и другие. Цифры вводятся как обычная последовательность чисел без пробелов и знаков препинания.
Порог переноса равен основанию системы. В десятичной системе единица переносится при сумме 10, в двоичной — при сумме 2, в восьмеричной — при 8. Это следствие того, что в системе нет отдельной цифры для самого основания.
Да, если привести их к одному основанию. Калькулятор переводит обе записи в десятичные значения, а сумму можно затем записать в любой нужной системе.
Переведите оба слагаемых в десятичные значения, сложите их, а затем переведите сумму обратно в исходную систему последовательным делением на основание с записью остатков.