Калькулятор последовательностей помогает разобраться с рядами чисел: находит очередной член и сумму первых n элементов арифметической или геометрической прогрессии. Достаточно задать первый член, шаг или знаменатель и количество членов.
Последовательность — это упорядоченный набор чисел, построенный по определённому правилу. Если разность между соседними членами постоянна, ряд называют арифметической прогрессией, а если постоянно отношение — геометрической. Задать прогрессию можно первым членом и шагом, не выписывая весь ряд.
Понимание прогрессий нужно в самых разных задачах: от расчёта выплат и процентов до анализа рядов в физике. Калькулятор избавляет от ручного перебора и сразу даёт нужный член и сумму.
Каждый следующий член получается прибавлением постоянной разности d. Чтобы найти элемент под номером n, к первому члену прибавляют d, умноженную на n − 1. Сумму первых n членов удобно считать как произведение среднего арифметического крайних членов на их количество.
Здесь каждый член умножается на постоянный знаменатель q. n-й член равен первому, умноженному на q в степени n − 1. Сумма вычисляется по формуле с отношением (qⁿ − 1) / (q − 1); при q = 1 знаменатель обнуляется, и сумму считают как n × b₁.
Пример 1. Арифметическая прогрессия 2, 5, 8, 11: a₁ = 2, d = 3. Десятый член равен 2 + 3 × 9 = 29, а сумма первых десяти членов — 10 × (4 + 27) / 2 = 155.
Пример 2. Геометрическая прогрессия 3, 6, 12, 24: b₁ = 3, q = 2. Пятый член равен 3 × 2⁴ = 48, сумма первых пяти членов — 3 × (32 − 1) / 1 = 93.
Пример 3. Убывающая прогрессия 100, 50, 25: b₁ = 100, q = 0,5. Четвёртый член равен 12,5, а сумма первых четырёх членов — 187,5.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии 2, 5, 8, ...
| n | n-й член | Сумма |
|---|---|---|
| 5 | 14 | 40 |
| 10 | 29 | 155 |
| 20 | 59 | 610 |
| 100 | 299 | 15050 |
В арифметической к каждому члену прибавляют постоянную разность, а в геометрической умножают на постоянный знаменатель. Из-за этого арифметическая растёт линейно, а геометрическая — гораздо быстрее.
Да. При отрицательной разности прогрессия убывает: например, 10, 7, 4, 1. Формулы работают без изменений, достаточно подставить отрицательное значение d.
При q = 1 все члены равны, а формула суммы содержит деление на ноль. В этом случае сумму считают как произведение первого члена на количество членов.
Выразите n из формулы n-го члена. Для арифметической прогрессии n = (aₙ − a₁) / d + 1, для геометрической удобнее воспользоваться логарифмом.