Калькулятор числа Эйлера показывает, как получается знаменитая константа e = 2,718281828. Первый блок приближает её через предел (1 + 1/n) в степени n и сразу оценивает погрешность, а второй считает показательную функцию e в степени x. Оба расчёта опираются на стандартные математические функции.
Число Эйлера — математическая константа, которую обозначают буквой e. Её значение примерно равно 2,718281828. Это иррациональное число: десятичная запись бесконечна и не имеет повторяющегося периода, поэтому точное значение дробью не записать.
Число e — основание натурального логарифма и экспоненты. Именно поэтому оно возникает там, где что-то растёт пропорционально своему текущему размеру: проценты по вкладу, размножение бактерий, радиоактивный распад. Приближённое значение константы удобно получать двумя способами — как предел последовательности и как сумму бесконечного ряда.
Представьте, что банк начисляет 100% годовых, но делит год на n равных периодов и каждый раз начисляет проценты на уже выросшую сумму. Если n растёт, итоговый множитель (1 + 1/n) в степени n приближается к e снизу. Чем больше шагов, тем выше точность.
Погрешность показывает, насколько приближение отличается от точного значения, которое вычисляет функция exp(1). Для инженерных задач обычно достаточно n порядка нескольких тысяч: дальнейшее увеличение шагов почти не меняет результат.
Второй блок отвечает на вопрос, чему равна экспонента при заданном показателе. Функция e в степени x описывает рост или убывание величины: при положительном x значение быстро увеличивается, при отрицательном — стремится к нулю, но остаётся положительным. Экспонента никогда не обращается в ноль и не принимает отрицательных значений.
Пример 1. Возьмём n = 100. Тогда приближение равно 1,01 в степени 100, то есть 2,704814. Погрешность к точному значению составляет 0,013468.
Пример 2. Увеличим число шагов до 1000: 1,001 в степени 1000 даёт 2,716924, а погрешность падает до 0,001358 — почти в десять раз меньше.
Пример 3. Экспонента от x = 2 равна 7,389056, а при x = 0,5 значение составляет 1,648721. Видно, насколько быстро растёт показательная функция.
Как приближение зависит от числа шагов n
| Число шагов n | (1 + 1/n) в степени n | Погрешность к e |
|---|---|---|
| 10 | 2,593742 | 0,124540 |
| 100 | 2,704814 | 0,013468 |
| 1000 | 2,716924 | 0,001358 |
| 10000 | 2,718146 | 0,000136 |
Значение иррационально, поэтому записать его полностью нельзя. С точностью до десяти знаков это 2,7182818285.
Она описывает рост вклада при непрерывном начислении процентов. При неограниченном росте n результат стремится к числу e снизу, поэтому погрешность всегда положительна.
Ошибка убывает примерно как 1/(2n). Чтобы получить пять верных знаков, нужно несколько тысяч шагов, а для трёх знаков достаточно n около сотни.
Она моделирует процессы, где скорость изменения пропорциональна текущему значению: рост популяции, охлаждение тела, заряд конденсатора.