Число π — одна из главных математических констант, равная отношению длины окружности к её диаметру. Оно бесконечно и непериодично, а его значение около 3,14159. Практически π всегда появляется там, где есть круг, дуга или вращение, поэтому калькуляторы ниже показывают, как константа работает в реальных формулах.
Число π показывает, во сколько раз длина любой окружности больше её диаметра. Это постоянное отношение для всех кругов, поэтому константа не зависит от размера фигуры. Для практических расчётов достаточно значения 3,14159, хотя в науке и инженерии иногда используют десятки и тысячи знаков.
Число π иррационально и трансцендентно: его нельзя записать обычной дробью, а десятичная запись бесконечна и не повторяется. Оно встречается почти во всех разделах математики и физики — от тригонометрии и геометрии до теории вероятностей и волновых процессов.
Длина всей окружности равна 2πR. Дуга — это её часть, пропорциональная центральному углу. Если угол задан в градусах, его долю находят делением на 360 и умножают на длину окружности, что даёт формулу πRα / 180.
Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Его площадь относится к площади всего круга так же, как угол к 360 градусам. Отсюда формула πR²α / 360. При угле 180 градусов сектор превращается в полукруг с площадью πR² / 2.
В инженерных и тригонометрических расчётах углы удобнее выражать в радианах. Полный оборот равен 2π радиан, то есть 360°, поэтому один градус составляет π / 180 радиан. Перевод выполняют умножением числа градусов на π и делением на 180.
Пример 1. Дуга радиусом 3 при угле 60°: 3,14159 × 3 × 60 / 180 = 3,1416.
Пример 2. Сектор того же радиуса и угла: 3,14159 × 9 × 60 / 360 = 4,7124.
Пример 3. Угол 90° в радианах: 90 × 3,14159 / 180 = 1,570796.
Длина дуги и площадь сектора при радиусе 3
| Угол | Длина дуги | Площадь сектора |
|---|---|---|
| 30° | 1,5708 | 2,3562 |
| 60° | 3,1416 | 4,7124 |
| 90° | 4,7124 | 7,0686 |
| 180° | 9,4248 | 14,1372 |
Для школьных и большинства инженерных задач достаточно 3,14 или 3,14159. Более высокая точность нужна в астрономии, навигации и научных расчётах, где важны дальние масштабы.
Число π иррационально: его нельзя представить отношением двух целых чисел. Поэтому его десятичная запись продолжается без конца и не содержит повторяющегося периода.
Формулы производных, интегралов и большинства физических законов записаны для радиан. В радианах длина дуги и площадь сектора выражаются особенно просто.
Кроме геометрии, π встречается в теории вероятностей, статистике, электротехнике и обработке сигналов. Формула нормального распределения и расчёт волн тоже содержат эту константу.