Калькулятор разложения на множители помогает разложить квадратный трёхчлен вида ax² + bx + c. Он находит дискриминант и корни, а по теореме Виета показывает их сумму и произведение. Это основа разложения многочлена на линейные множители.
Разложение на множители — это представление выражения в виде произведения более простых частей. Для квадратного трёхчлена ax² + bx + c такое представление связано с его корнями: если корни равны x₁ и x₂, то трёхчлен записывают как a(x − x₁)(x − x₂).
Корни находят через дискриминант. Знак дискриминанта показывает число действительных корней: при D больше нуля их два, при D = 0 корень один, при D меньше нуля действительных корней нет.
Дискриминант вычисляют по формуле D = b² − 4ac. Затем корни находят как (−b ± √D) ÷ 2a. Коэффициент a не должен быть равен нулю, иначе выражение перестаёт быть квадратным.
Пример 1. Трёхчлен x² − 4: a = 1, b = 0, c = −4. Дискриминант 16, корни 2 и −2, разложение (x − 2)(x + 2).
Пример 2. Трёхчлен 2x² + 8x + 6: D = 16, корни −1 и −3, разложение 2(x + 1)(x + 3).
Пример 3. Для x² + 5x + 6 сумма корней равна −5, произведение 6. Это корни −2 и −3.
Разложение типовых трёхчленов
| Трёхчлен | Дискриминант | Корни | Разложение |
|---|---|---|---|
| x² − 4 | 16 | 2 и −2 | (x − 2)(x + 2) |
| x² + 5x + 6 | 1 | −2 и −3 | (x + 2)(x + 3) |
| 2x² + 8x + 6 | 16 | −1 и −3 | 2(x + 1)(x + 3) |
Если дискриминант отрицательный, действительных корней нет, и на линейные множители с действительными коэффициентами такой трёхчлен не разлагается.
Корень один, и трёхчлен превращается в полный квадрат: a(x − x₁)². Такой случай называют квадратом разности или суммы.
Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Если получился исходный трёхчлен, разложение верно. Теорема Виета даёт быструю проверку суммы и произведения корней.
Оно упрощает решение уравнений: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Это ускоряет поиск корней и упрощение дробей.