Калькулятор комплексных чисел выполняет сложение и умножение чисел вида z = x + iy. Он отдельно считает действительную и мнимую части результата, а также находит модуль и аргумент комплексного числа.
Комплексное число записывают в виде z = x + iy, где x — действительная часть, y — мнимая часть, а i — мнимая единица, квадрат которой равен минус единице. Комплексные числа расширяют обычные: они позволяют решать уравнения, у которых нет действительных корней.
Сложение выполняют покомпонентно: отдельно складывают действительные части и отдельно мнимые. Умножение раскрывает скобки с учётом того, что i в квадрате даёт минус единицу, поэтому произведение мнимых частей вычитается из произведения действительных.
Модуль комплексного числа — это расстояние от начала координат до точки на комплексной плоскости, он равен корню из суммы квадратов частей. Аргумент — угол между положительным направлением действительной оси и направлением на точку; его вычисляют через арктангенс отношения частей.
Сложим числа 1 + 2i и 3 + 4i. Действительная часть 1 + 3 = 4, мнимая 2 + 4 = 6. Результат 4 + 6i.
Перемножим те же числа. Действительная часть: 1 × 3 − 2 × 4 = 3 − 8 = −5. Мнимая: 1 × 4 + 2 × 3 = 10. Результат −5 + 10i.
Для числа 3 + 4i модуль равен корню из 9 + 16, то есть 5, а аргумент равен арктангенсу 4 / 3, то есть примерно 0,9273 радиана.
Действия с комплексными числами
| Операция | Действительная часть | Мнимая часть | Значение |
|---|---|---|---|
| (1+2i) + (3+4i) | 4 | 6 | 4 + 6i |
| (1+2i) × (3+4i) | −5 | 10 | −5 + 10i |
| модуль 3+4i | 5 | – | 5,00 |
| аргумент 3+4i | – | 0,9273 | 0,9273 рад |
Мнимая единица обозначается буквой i и определяется условием i в квадрате равно минус единице. Она позволяет извлекать корни из отрицательных чисел.
Сложите отдельно действительные части и отдельно мнимые. Мнимая единица при сложении сохраняется как общий множитель.
Модуль показывает длину вектора комплексного числа и используется при умножении и делении в полярной форме, а также в геометрии и физике.
Стандартно аргумент выражается в радианах. Чтобы перевести в градусы, умножьте значение на 180 и разделите на число пи.